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高考数学之嫦娥四号——考渔不考鱼

【老万按】前几天李尚志老师的文章《高考改革之维纳斯——换汤换碗不换药》发表后,读者反响热烈。李老师意犹未尽,乘热又推出这篇新文章点评嫦娥姐姐。
 
科学研究是为了解决各种有趣有用的实际问题。数学做为科学的工具,就是为解决科学发展过程中的各种困难而发明出来的。离开实际意义去学数学,等于不求甚解人云亦云,除了硬背一堆公式,什么也得不到。何况,这样死记下来的公式,考完就忘了。这样的“学习”叫做买椟还珠。
 
那么,什么是正确的学习方法呢?我们来听李老师讲讲他是怎样联系物理学习数学的吧。
 
今年高考怕美女。怕外国的维纳斯,怕中国的嫦娥。见了维纳斯怕算身高,见了嫦娥怕算物理。
 
其实,维纳斯并没有叫你算她的身高,而是叫你算“某人”的身高。嫦娥四号没有叫你算物理,而是给了个数学公式叫你解方程,完全是算数学。都是虚张声势吓唬你的。不是考你的十八般武艺,而是考查你的平常心和学习能力。
 
自从高考改革允许考生可以选择不考物理,就有很多考生抓住这个“良机”躲避物理。我就主张在高考数学中出物理背景的题目让这些躲避物理的考生吃点亏,让他们知道物理是躲不了的,想要偷懒取巧的聪明人都会搬起石头砸自己的脚。
 
物理数学是一家,共同携手到天涯。发明很多物理定律的牛顿,同时也是发明微积分的大牛。我在北航当理学院院长,既管数学系也管物理系。物理系系主任请我到物理系讲数学与物理的关系。我说两个学科的关系是个大题目,我不敢妄加议论。我只敢讲我自己:
 
我在中学自学微积分并没有看过高等数学教材,全都是通过思考物理问题学来的:从变速运动学导数,从力的合成与分解和向心加速度学向量,从胡克定律和简谐振动学三角函数的导数和二阶微分方程。用原函数求定积分的微积分基本定理,这是在一本《从量变看物理世界》的小册子看来的。
 
我考进中科大数学系,是班上的物理科代表。我多次向物理老师反映我班同学的意见:我们都学了微积分,为什么你在物理原理的推导过程中还经常用中学数学而不用微积分。老师虚心接受我们的意见,努力改进。但始终不能让我们满意。终于有一天他忍无可忍了,说:你们要求的课不是普通物理,而是理论力学。
 
今年终于欣喜地看到高考数学卷中出现了物理背景的题。仔细一看,其实没有真考物理知识。虽然“根据牛顿运动定律和万有引力定律”得到方程,但并没有要求考生利用物理定律列方程,而是直接给出方程让你解方程。只不过那些怕物理的考生,不但怕真正的物理知识,也怕这种虚张声势的假物理。假如他们能够淡定一点,对“牛顿运动定律、万有引力定律”这些物理名词视而不见,也不管 R,r,M1,M2 代表什么物理意义,只把它们当作 4 个数,用数学知识来做这道题,就知道他们害怕的物理其实并没有来,不必害怕。
 
怎样解这个方程?第一难关不是数学知识,而只是一念之差。假如 R,M1,M2 都给了具体数据,r 换成 x,难度就降低了。如果你把 R,M1,M2 想象成一元二次方程求根公式中的 a,b,c 那样代表已知数的字母,把 r 想象成 x 解方程,难度也降低了。这不是考数学,而是考心理。
 
心理过了关,题目给的等式就是一个分式方程,可以用去分母、移项、合并同类项这些常规操作化简。不过,如果你真的这么去做,会发现它是 r 的 5 次方程,你根本不会解。
 
 
此题算法很平常。新颖之处是:考卷上临时教你两招让你马上掌握马上用。不要求你以前掌握这些知识,而是考察你的学习和应用能力。授之以渔,要求你临阵磨枪,既快也光。考察你学习和应用打鱼本领的能力。这是考渔不考鱼。
如果你知其然之后还想知其所以然,想知道那个物理公式怎么来的,也不难。等式左边一看就懂,就是题目中的鹊桥所受万有引力产生的加速度:
的来源。我在网上查了一下,高中物理课程考试和物理竞赛都涉及拉格朗日点的计算,对于参加高考的学生来说,并不超纲。
 
 
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