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高考改革之维纳斯——换汤换碗不换药

【老万按】李尚志老师是中国自己培养的第一批博士之一。他曾任中国科技大学数学系教授和系主任、北京航空航天大学理学院院长和数学与系统科学学院院长。我在中国科大读书时得到了李老师不少关照。老师讲课写文,风趣生动,举重若轻,每次和老师摆龙门阵都如坐春风。他的故事在我《爱笑的李老师》一文中有述。
 
前日李老师在朋友圈发表对今年高考数学试题的高见,很多观点于我心有戚戚焉。(当然,李老师做为国家级的数学教学名师,对这个问题的思考和理解比我透彻深刻得多。)我申请转发后,李老师欣然同意并扩充整理成这篇文章,包含了不少关于高考和教育的真知灼见。尤其是李老师在文中还无私分享了他在中科大和北航两校多年积累的考试真题,值得广大学子和他们的父母老师们细细研读。我相信,这篇文章传播出去能让更多有心的同学们认识到学习的真正目的和有效方法,改变他们的人生轨迹。感谢李老师!
 
年年高考,今又高考。有人欢喜有人愁,年年如此。因此我没有太关注高考。
 
没想到今年高考与往年有所不同,网上特别热闹,出现了“哀嚎” 这样的词。于是我关注他们哀嚎了什么。原来是高考题中出现了维纳斯,有些人就大呼“太可怕” 了,就像半夜经过坟场遇到一个从古墓中爬出来吃人的女妖。
 
我很好奇维纳斯这个女妖能玩出什么可怕的花样。
 
看了考题,才知道维纳斯不是女妖,只是一个讲课的女教师。讲课内容是人体身材黄金分割的美学原则:头顶到喉咙与喉咙到肚脐的长度比 0.618,头顶到肚脐与肚脐到足底的长度比 0.618。
维纳斯讲完课就回家了,并没有出高考题。高考题是为维纳斯当助教的中国考官出的:计算符合维纳斯美学标准的“某人”的身高。已知条件是:腿长 105cm,头顶到脖子的长度 26cm。
 
头顶到脖子 26cm,差不多就是头顶到喉咙的长度。它是喉咙到肚脐长度的 0.618 倍,喉咙到肚脐就是 26 / 0.618 = 42cm。头顶到肚脐 26 + 42 = 68cm。
 
如果把腿长 105cm 作为肚脐到足底的长度,身高就是 68 +105 = 173cm。与答案中的 B: 175 最接近。因此选B。
 
这是高考题吗?明明是小学算术应用题嘛。为什么就会让人害怕、哀嚎、晕倒呢?怎样才能不让人害怕?
 
按照他们的想法,不应该让希腊古尸维纳斯出场,也不应该出现头、喉、肚脐、足底这些器官,而应该用 ABCD 代替,变成:已知 AB = 26,CD = 105,AB / BC = AC / CD = 0.618,求AD。这就是正常的高考题而不是难题了。
 
ABCD 与头、喉、肚脐、足底有区别吗?用字母表示点的位置,与用人身上的器官名称表示位置,有区别吗?
 
也许有些考生觉得有区别,就好比他们在上幼儿园时算 3 + 2 只会数手指不会数苹果。这些考生就应该被淘汰出局,乖乖地为那些既会数手指也会数苹果,既会算 ABCD 也会算头顶咽喉肚脐足底的考生让路。
 
有人嘲笑高考改革是换汤不换药。对,就是只能换汤不能换药。数手指换成数苹果,3 + 2 = 5 不换。ABCD 这些英文字母换成头顶咽喉肚脐足底这些人体器官的位置,0.618不换。这都是换汤不换药。
 
学数学,就是要学会从千差万别的汤中识别永恒不变数学原理的药。
 
高考是不是曾经换汤也换药?换过。1966年废除高考,不仅换了汤和药,而且砸了碗和锅,废了大学,烧了孔庙,打死了老师和校长。这样的换汤换药你难道还想再来一次?
 
后来,大学恢复了碗和锅,不过上大学不靠做考题,而是像张铁生那样交白卷上大学,这样的毒药你还想吃?
 
至于 ABCD 换成维纳斯,或者再换成蒙娜丽莎或者换成阿波罗,哪怕换成孙悟空猪八戒,只要内容还是数学,就都可以。只要还有人不认识药,骂这锅汤,就说明区分度很好,就是好题。
 
什么是核心素养?能够从不同的汤中识别共同的药,这就是核心素养。有人能识别,有人不能识别,这就是区分度。
 
不论高考题难易,招生人数不变,上大学的总体难度都一样。如果考题容易,大家的考分都高,高分都上不了大学,入学的难度并没有降低。考题难易不改变入学的难度,只改变入学考生的组成。
 
考题容易,差生也有可能靠运气混进大学。考题死板,死记硬背也有可能成功。考题灵活,将 ABCD 的汤换成维纳斯的头和脚这样的汤,把死记硬背的考生打懵,把他们入学的门关窄一点甚至关死,让他们在吐槽晕倒和哭泣之后有所醒悟,让那些潜心学习的考生更容易脱颖而出,这才是普度众生的功德,才是高考改革的正确方向,才是提高核心素养的有效措施。
 
ABCD 与头喉咙肚脐足底有没有差别?当然有差别:头喉肚足是小学算术,ABCD 表示线段是初中几何。这就是差别。一些考生上了高中,就只会初中的 ABCD,一遇到小学应用题的维纳斯就觉得可怕,就要哀嚎了。
 
此题的算法虽然是小学水平,但真正的难度在于已知条件有冗余,算法不唯一,不同算法算出的结果不一致,违背了考生习惯的套路,这就要考察你怎么处理。
 
如果只告诉头到喉咙的长度 26cm 不告诉腿长 105cm,算法就是唯一的:用头到肚脐26 + 26 / 0.618 = 68 算出肚脐到足底 68 / 0.618 = 110cm,身高 110 + 68 = 178cm,仍选B。这确实是小学水平的计算。
 
现在多告诉了一个条件:腿长 105cm,就多了两个算法。可以直接由 68 + 105 = 173cm 算身高。还可以由 105 × 0.618 + 105 = 169.89cm 算身高。三个不同算法得出三个不同答案:178,173,169.89,你选哪个?
 
前两个得数都是选 B,第三个得数就有可能选择答案 A:165,因为 165 比 175 离 169.89 更近。
 
有人就说这是题目出错了,至少也是出题人考虑欠周到。
 
我相信这不是出题人考虑不周,而是故意要考察考生处理现实问题的能力。现实生活中的人体不可能完全符合黄金分割的 比例,也不能由出题人随意编造,只能近似符合,总有些小偏差。但应该尽量选择误差小的方案。
 
数据冗余,计算结果不完全一致,不能只考虑一种情况而把其余情况抛弃不管,而应该都算出来比较和印证,综合考虑。
 
维纳斯讲的美学标准是头顶到喉咙的长度,肚脐到足底的长度。考官给出的却是头顶到脖子的长度和腿长。喉咙和脖子谁高谁低?肚脐位置和腿长有什么关系?出题人不是上帝也不是女娲,无权规定人体器官应该长在什么位置,更无权改变这些位置。你只能在自己身上调研一下来做出判断。
 
大体上,可以认为头顶到脖子与头顶到喉咙的长度基本相等,肚脐到足底的距离比腿长略多一点。因此, 利用腿长 105 算出的 68 + 105 = 173 与 105 + 105 × 0.618 = 169.89 可以放大到 175, 不宜减少到 165。
 
此题考的计算确实是小学水平,但要求根据真实生活来处理数据,体现了数学建模的基本原则。
 
有位老师提出如下观点请我发表意见:以前曾经强调应用,忽视了基础理论的学习。现在强调了理论,又造成应试教育。依我看,这个观点前一半是对的:忽视基础,的确搞不好应用。后一半则是错的:应试教育不是因为重视了理论,恰是因为不愿意下功夫学理论。
 
两者都是急功近利,都是只重视应用不学习理论。前者是只重视在生产中的应用,只重视眼前利益。应试教育也是应用:应用所学知识混进大学,混个文凭,是更短浅的利益。应试教育对学习理论不感兴趣,只重视算法,希望得到一个秒杀绝技,蒙题技巧,来敲开大学之门。
 
我从来不批判应试教育。批判了也没有用。唯一有用的是考官的出题导向:让应试教育在考试中失败,让他们害怕,让他们哀嚎,让他们落榜,这才有用。
 
怎么能达到这个效果?有人批评今年的高考任性,打破了某些常规。让很多研究高考规律的“专家”总结的“规律” 失效。这是优点而不是缺点。
 
优点就是换汤不换药:数学的药不换,把汤换一下。把那些努力打造秒杀技巧却不能识别新汤中的旧药的统统秒杀在考场上。如果换了汤他们还是会做,那就说明他们真正掌握了理论,就不是应试教育而是素质教育了。
 
要做到这一点,也不能一蹴而就,而应该逐步摸索和尝试。我当了49年老师,主持了很多考试,摸索和尝试了很多年。下面是我采用过的两个例子。
 
例1. 以下是宾馆台灯的照片。灯罩下面漏出来的光照到墙上。照亮的部分和阴暗部分的分界线是什么曲线?说明理由。
这个题目多次用来面试学生。大部分学生凭眼睛观察说是抛物线。有少数人说是双曲线。
 
灯罩下沿是个圆,漏出的光束是圆锥。墙面是平面。曲线就是平面截圆锥得到的截线。
 
如果题目这么出:已知一个平面截一个圆锥,截线是什么形状。大多数学生都有现成的结论可以背诵。圆锥换成了光束,平面换成了墙,换汤不换药,很多人就不会了。面试时适当启发,有些能接受启发,很快醒悟,这就是好的,启而不发的就被区别到另一类了。
 
例2. 某商场抽奖,中奖率 10%。如下两件事哪件事可能性更大:(1) 只抽一次就中奖;(2)连续抽20次都不中奖。
 
这题不是我凭空编造出来的,而是受真实案例的启发想出来的。邯郸农业银行两个管理金库的工作人员,挪用金库的钱买体育彩票。他们的如意算盘是:如果中了奖,奖金自己得,本钱还回去。结果买了很多彩票都没中奖,他们就逃跑。逃跑过程中还天天盼望中奖。结果被抓回来判了死刑。
 
执行死刑之前,媒体采访,问他“连续买了很多张都不中奖,有何感想?”他的回答居然是“太令人意外了。”我就想到:他死不瞑目。如果有来世,一生下来睁开眼马上就要买彩票。
 
赌博的人都只想到自己怎么赢,不考虑自己会怎么输。这就启发我编了这个题目。
 
中奖率 10% 是真实数据:按抽奖号码尾数,尾数等于某个数字的得奖。中奖率就是 10%。这是中奖率比较高的,奖品也就比较菲薄,不过总还是算中奖吧。
 
大部分人的想法是:10% 的中奖率,抽 10 张就应该得奖了。即使运气差一点,14、15 张总应该得奖,哪里会 20 张都不得奖。
 
其实,大多数学生都会算这个概率:每张彩票中奖率 10%,不中奖概率就是 90%。连续 20 张不中奖就是 0.9 ^ 20。
 
最开始出这道题是计算题。后来觉得不应该逼着学生计算,就改为选择题。这就给有些不愿意计算的人提供猜答案的机会。他们的想法基本上与那位买彩票的人一样,不相信连续买了 20 次还不中。我就给他机会让他爽一把,舒舒服服跳进陷阱,让那些老老实实计算的学生多一点机会被录取。
 
由于考场不准许用计算器,这道题要计算出 0.9 的 20 次幂有难度。不是让你愚公移山连乘 20 个 0.9,而可以采用一个巧妙而简单的算法。先算 0.9 ^ 2 = 0.81,再算 0.81 ^ 2 = 0.6561 就是 0.9 ^ 4。0.6561 再平方得 0.9 ^ 8,再平方一次就是 16 次幂,与 4 次幂相乘就得到 20 次幂,约等于 0.12。比一次中奖的概率 0.1 更大。这恐怕也是“太令人意外”。
 
这道题也用来给大学生讲课,让他们计算“中奖率千分之一,连续买2千张都不中奖”的概率。“中奖率万分之一,连续买2万张都不中奖”的概率。不是让他们死算几千几万个数的乘积,而是允许他们用计算器发现这两个概率基本相等,都是 0.135。再用极限来计算这两个幂,发现它们都是 e ^ -2 的近似值,作为“不请自来的e”这个主题的鲜活案例。不是为了让他们学习之后去应付考试,而是通过考试学到新的思想方法。
 
北航有的学生经过了两次这种风格的考试:第一次是入学之前的自主招生,第二次是入学之后选拔进入尖子班。两次考试的题目没有重复,但风格一致,改卷中就发现他们第二次考试表现的水平比第一次有很大的提高。这才真正达到了考试的目的:即使他们当初学习的目的就是为了考试,我们也要让他们通过考试改变这个想法,尝到学习的真正滋味,吸收到学习的真正营养。
 
如下两套考试题是我在中科大和北航两校多年积累的考试真题,在自主招生、中科大少年班、北航高等工程学院和华罗庚班的入学选拔考试中都使用过。基本思想是尽量避免中学老师应付高考和参加奥数训练过的套路,让所有考生都回到相对平等的原生态状态参加考试,用中学最基础的知识来答题。
这两套题的详细分析解答和相关背景,可查阅《数学通报》2018年连载的文章《核心素养怎么考》。
 
有的中学教师看出我考的很多其实是大学的知识点。确实如此。但中学老师基本上不会去训练这些知识点,考生对此基本上都茫然不知。我只是让他们通过做某些考题自己把这些知识发明出来,再用于解决别的考题。不是像巴甫洛夫训练狗那样的刷题,而是像高德地图为他指引方向,让他自己开车到达目的地。
 
虽然这些考生以前接受的是应试教育,但还是有不少人在两小时的考试中就成功地转型,在考试中获得成功,脱胎换骨也获得成功。这说明应试教育没那么可怕,不会毁掉所有学生。
 
首先,学生从应试教育中获得的知识还是很有用,应试教育中养成的一些坏习惯也不难改变:只要让他们应试失败一两次,有些人就改变了。当然,我这种考试只适合用来选拔精英,还不适合用来高考。但是,高考有少数题这样出还是可以的。至于中学老师用来训练你的学生,开阔一下视野,我觉得是有益无害的。
 
之所以今天要讲后面这个例子,是因为我看到两篇教考生蒙选择题答案的帖子。一篇根据维纳斯是女的排除 C、D,根据维纳斯是外国人排除 A。
做选择题时可以根据逻辑推理排除一些选项,但这个小编的“排除法”却纯属胡说八道。题目根本不是让你算维纳斯,而是算“某人”,没说是男是女,也没说是中国人还是外国人,你凭什么说她是女的来排除 C、D,说他不是中国人来排除 A?既然是中国考官出的题,是中国人的可能性还大些,否则考官怕你们骂他是汉奸。
 
其实,考官根本不可能让你算维纳斯的身高。维纳斯是神而不是人,谁也不知道她有多高。现实中的维纳斯是尊雕像,我到卢浮宫去看过,比真人高。如果考官出题算维纳斯,无论怎样设置数据都会挨骂。所以,不算维纳斯,而算一个虚拟的“某人”,是最合理的办法。
 
这位小编当然是已经知道答案才胡编乱造一些牛头不对马嘴的理由。虽然很多人把这当个段子一笑了之,有人认真相信这种“秒杀”解法也毫不奇怪。毕竟 175 这样一个居中的答案确实更有可能被一些不会计算的人猜中。
另外还有一个自称“伍博士”的教人通过少数服从多数的投票方式来确定选择题的答案。选择题的答案有可能被蒙对,这是这种题型的明显缺点。希望高考出题人也经常关注一下民间的“高考专家”们总结的高考规律,像“伍博士”这样的巫师们教了什么蒙题绝招,以后出选择题时就可以适当考虑这些因素,作为设计选项时的参考,增加巫师们的信徒蒙题的失败率,逼迫他们改邪归正,弃暗投明。
 
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