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【老万谈音律】朱载堉首发平均律

上回书咱们说到托勒密用五限调音法革了五度相生律的命,造出托氏音阶解决了大三和弦有六百多年不好听的问题。但是托氏音阶也有不足,比如在小三和弦 246 里出现了五音和根音频率比 40:27 的辣耳朵的“狼音”。
 
听完纯五度和狼音五度的对比,我们可以发现纯五度非常稳定,而狼音是很不稳定的,一直象小蜜蜂一样嗡嗡嗡嗡地发抖。
 
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为什么会这样?要回答这个问题,我们需要先上一堂生动的物理课。
 
我们知道,声音是波。
 
两波相遇,波形就会叠加。
 
科学家们发现,频率接近的两个波叠加会出现有趣的现象。
 
比如,我们有一个每秒振动 100 次的波:
还有一个频率略高一些每秒 110 次的波:
这两个振幅稳定的波加在一起,有的时候互相加强,有的时候互相抵消,结果竟然是这样的:
它的振幅不再是一条水平线,而是随着时间一起一伏。不信的同学可以随便找一个制图计算器(比如 https://www.desmos.com/calculator )验算一下。
 
振幅越大声音越响。所以,我们听到的音量就会有规律的一起一伏。
 
数学家们一计算,发现这个音量起伏的频率 g 和两个原始单音的频率 f1 和 f1 有一个简单的关系:
 
g ≈ |f1 - f2|
 
频率接近的两个音在一起,会出现音量起伏的情况,而且起伏的频率约等于两个音频率的差,这个现象被叫做差频(beat)。
 
有同学要问了:狼音里面两个音的频率是 40 : 27 的关系,并不接近啊。为什么也会有嗡嗡响呢?
 
这是因为它们的泛音出现了差频啊!
 
40*2 = 80,27*3 = 81,所以这里高音的一阶泛音和低音的二阶泛音频率是很接近的,会出现差频。
 
这就是为什么我们说过泛音重合度高的音在一起和谐 - 如果泛音不重合就有可能产生差频。
 
我们可以看一看狼音的波形是什么样的:
是不是七扭八歪?
 
所以,托勒密音阶的小三和弦有差频,差评。
 
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托勒密音阶的问题不仅仅是在小三和弦中出现了刺耳的狼音。
 
还有一个问题,也是所有纯律的通病,就是不能随意更换调式。
 
什么是调式?就是一个音阶里音符排列的规律。
 
同样七个音,如果我们从里面选不同的音做一首曲子里最重要的音(主音),就会得到不同的声音色彩。比如,以 1(do)为主音的大调音阶 12345671,色彩明亮温暖。
 
这里相邻两个音的音程(音之间的距离)分别是:
 
1-2 大二度
 
2-3 大二度
 
3-4 小二度
 
4-5 大二度
 
5-6 大二度
 
6-7 大二度
 
7-1 小二度
 
所以大调音阶也可以表述为“大大小大大大小”。
 
用表格的形式描述每个音和前一个音的距离,就是:
 
 
所以,如果一首小调的歌里出现了 #4(升 fa)这个音,很可能是多利安调式。
 
大家熟悉的多利安调式的歌曲有齐豫的《橄榄树》(不要问我从哪里来),罗大佑的《滚滚红尘》(想是人世间的错)- 加粗的歌词对应的是 #4 这个音,是不是感觉特别?
 
好了,比如说我们的齐豫姐姐得了一台按托勒密音阶调音的钢琴,兴冲冲地要唱她的保留曲目《橄榄树》。
 
托勒密音阶在定音时保证的是每个音跟主音在一起都比较搭,不会难听。也就是说,每个音跟主音的频率比都比较简单:
 
大家听一下托氏音阶里每个音和主音放在一起的效果:
 
除了 7 和 1(频率比15/8)在一起不太和谐,其它都可以。因为 7 和 1 没有同时出现在同一个常用和弦里,这个问题不大。
 
在这样一台钢琴上,如果我们改成以 2 做主音的多利安调式,大家可以计算一下每个音跟主音的频率比:
 
 
听一下每个音跟主音放在一起的效果:
 
第三个音 4(对主音的频率比是 32/27)和第五个音 6(对主音的频率比是 40/27,也就是狼音)跟主音放在一起都不好听。而 4、6 和主音 2 组成的是这个调式最重要的主小三和弦。这个和弦不好听问题就大了。
 
所以,托勒密音阶不能唱《橄榄树》,差评。
 
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除了不能换调式,托氏音阶和所有纯律一样,还让固定音高乐器无法转调。
 
等等,转调和换调式不是一回事吗?
 
不一样。
 
换调式,是在同样一组音里面选不同的音做主音,达到色彩的变化(比如从大调的明亮到小调的阴柔)。
 
转调,是把所有的音符升高或降低同样的距离(也就是把它们的频率乘以同样的倍数),达到方便演奏或是推进情绪的效果,但是乐曲色彩不会发生变化。
 
固定音高的乐器,比如钢琴,每个键只能发一个音。如果按 C 调的托勒密音阶调好音(以 C 为主音),就只能演奏 C 调的曲子。如果想把曲子升高一点,照 D 调演奏,对不起,还得请调音师把 88 个音重新调过。
 
要不,就在家里摆十二部钢琴,每部按一个调调音。
 
一般人都没有这么任性。
 
所以,托勒密音阶不能随意转调,差评。
 
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托勒密音阶把频率比的因子从 { 2, 3 } 拓展到了 { 2, 3, 5 },解决了大三和弦不好听的问题。能不能顺着这个思路再拓展,解决托氏音阶的小三和弦问题呢?
 
美国有个作曲家杨大山(La Monte Young),不喜欢五限调音法里面 5 这个因子。他更喜欢7。所以他搞出来一套七限调音法,规定频率比的分子分母里只能出现 2,3,和 7 做因子,把中间的 5 生给去掉了。
 
老杨还用自己这套音律搞出来一首曲子,名字很直白:《调好音的钢琴》(The Well-Tuned Piano)。这不是挤兑别人都不会给钢琴调音吗!
 
老杨自诩调琴圣手,也颇有一帮拥趸。不过听他的曲子得先做好心理建设。
 
因为,它长达五个小时啊!(心疼听众五分钟......)
 
而且,杨氏音阶里居然出现了逆行。
 
本来大家说好音阶里的音都是从矮个到高个依次排的。但是大山不。他的钢琴上的 G# 这个音竟比 G 还要低。
 
那他为啥不把这两个音倒过来呢?我想是为了和弦的需要吧。
杨大山演奏《调好音的钢琴》
 
大家可以上油管听这首《调好音的钢琴》:https://youtu.be/VXxZCSAWUP8,感受一下它特有的听感。
 
这曲子好不好听见仁见智,不过因为过于标新立异,和大多数人的听觉习惯相去甚远,还是不能成为主流。
 
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五度相生法也好,五限调音法也好,所有纯律都有一个问题:转调之后的音高和旧调的音符无法重合,所以在固定音高乐器上无法转调。而且,不管你怎么安排,始终会出现一些常用和弦不好听的问题。
 
要彻底解决问题,只能把所有的音排成一个等比数列。
 
这样,转调之后每个音的频率都乘以相同的倍数,结果还是一个等比数列。
 
而且,所有的和弦都是平等的,不会出现某些和弦比其它和弦难听的情况。
 
比如,如果我们想要 N 个不同的音符,就从一个基本音出发,假定它的频率是 f,把 f 到 2f 的频率范围按等比数列划成 N 份:
 
f,k * f,k^2 * f,k^3 * f,..., k^N * f = 2f
 
(符号 k^m 表示 k 的 m 次方。)
 
也就是说,相邻两个音的频率比 k 等于 2 的 N 次方根。
 
且慢,2 的整数次方根它是个无理数啊!按照我们早先的理论,频率的比例要是简单的整数比才好听。这无理数能好听吗?
 
稍安勿躁。
 
人的耳朵不是精密仪器,好听不好听也是一个连续变化的区间。只要比例足够接近简单整数比,哪怕它其实是个无理数,我们也会觉得其实还行。
 
也就是说,为了转调的方便和消除某些刺头和弦,我们不惜和和稀泥,妥协妥协,把频率关系搞成无理数。
 
那么,N 多大合适呢?
 
大调音阶有 7 个音。我们取 N = 7 可以吗?
 
Too simple。
 
我们刚说过,大调音阶里相邻两个音的距离不是固定的,分大二度和小二度。根据观察,大二度大约相当于两个小二度的距离。
 
大调音阶构成是“大大小大大大小”的关系,五个大两个小。按一大顶二小的原则,一共相当于 12 个小二度。
 
所以我们可以试着把 [f, 2f] 的频率区间按等比数列分成 12 份,得到 12 个音,相邻两个音之间的频率比是 2 的 12 次方根。再从这 12 个音里按“大大小大大大小”的规律挑出 7 个音组成大调音阶。
 
这就是今天常用的 12 平均律。
 
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最早提出 12 平均律的,不是毕达哥拉斯或者托勒密的后代,而是一个中国人。他叫朱载堉。
 
老朱是 1536年出生的。那时候是中国的明朝。老朱家大业大,家里人占满了一张化学元素周期表。他爹叫朱厚烷,他有俩儿子叫朱翊锡,朱翊钛。朱元璋是他正经八百的八代祖宗。
 
老朱虽然出生富贵,但不喜啃老。他的时间都用在琢磨学问上了。
 
他对音乐颇有研究,对五度相生法不能随意转调颇有微词。
 
有一天老朱琢磨出了 12 平均律的道理,漫卷诗书喜欲狂。
 
不过,光有理论不够,还得拿出实际行动,算出来这十二根弦长应该是多少。
 
我们说过,质材和张力相同的情况下,弦长和频率成反比。所以,频率是等比数列相当于弦长是等比数列。
 
那时候没有电子计算器,怎么算 2 的 12 次方根?
 
老朱搞了个 81 串珠子的算盘,研究出了珠算开方的技术,硬是把 2 的 12 次方根精确地算到了小数点后 25 位!
据说这就是平均律发明人朱载堉。你要是说他是诸葛亮、李时珍或者杜甫我也同意。反正古人也就随便长长,美术家也就随便画画。
 
是不是很厉害?
 
不过,也不是完全不可思议。一上来就要硬开 12 次房方是冒进了,其实不需要。12 = 2*2*3 嘛,所以先开平方根,再开平方根,最后再开一个立方根就 OK 了。
 
老万推测,老朱十有八九就是这么干的。
 
我们看看,12 平均律和托勒密音阶吻合度到底如何:
 
 
看得出来,吻合度都在两个百分之内。这样的差别,人耳是可以区分的。这就是为什么杨大山这样的音乐家至今还不忘吐槽平均律,甚至有些人把当今社会的浮躁归因于年轻人听的 12 平均律音阶不够和谐。
 
不过,载堉哥虽然首发了 12 平均律的 paper,他的伟大发明并没有得到家乡父老的重视和应用。大概是因为中国传统音乐以单旋律五声音阶为主,不注重和声,对改进五度相生律的需求没有那么迫切吧。
 
几十年后,西方人又独立发明了 12 平均律。这一次,它得到了应有的重视。各种纯律因为种种缺点,逐渐退出了历史舞台。
 
现在,想要听听巴赫之前原汁原味的 do re mi fa so la ti,已经很困难了。
 
这个音律系列就到此为止了。下次咱们聊点别的。
 
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本文录音素材取自以下网站,特此感谢:
 
https://www.kylegann.com/tuning.html



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