【老万谈音律】1234567的音高是谁规定的?-老万故事会-财新网

中国古代的编钟 - 一锤定音说的就是它

喜欢音乐的朋友们知道，我们常用的大调音阶有 1234567 七个葫芦娃音符。那么你们知道这七个音的音高关系是怎么定的吗？比如，2（re）比1（do）高，具体应该高多少呢？

是不是有一天音乐老师在讲台上敲黑板：同学们安静了，老师给你们唱一个 do re mi fa so la ti do，你们都记下，明天测验！然后大家就把七个音的音高在世间传开了。

当然不是。

那时候哪有黑板。

更主要的是，音阶的构成是人类长期摸索出来的，不是有一种叫音乐老师的生物拍脑袋想出来的。

音阶中各个音之间的音高关系，叫做音律。

可能很多人不知道的是，音律在历史上是有过变化的。也就是说，1234567的音高，在古时候和我们今天听到的不一样。

如果你穿越到一千年多前兴冲冲地去听当时最牛逼的唐朝演唱会，可能会要求退票：娘那个脚的，五音不全都能当歌星？

这是因为你的大脑已经适应了我们今天常用的音律（十二平均律），听其它音律的演奏就会觉得别扭。

反之，李白到今天去唱K也得花时间重新训练适应今天的音律，否则会被周杰伦的粉丝赶下台。

今天我们就来讲讲历史上是怎么给音符规定音高的。

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我们知道一个音的音高是由它的振动频率决定的。频率越高，音就越高。

而音之间的关系是由它们频率的比例决定的。在我们听来，频率比例相同的两组音，它们的音高关系是一样的。

如果你家里有那种老式的电唱机的话，你会发现唱片转动的速度有三档可以选择：每分钟33又1/3转、45转和78转。

如果你把一张33又1/3转的唱片用45转的速度播放，除了速度更快，音调也会升高，但你还是能听出来是那一首歌。

这是因为，这首曲子里所有的音频率增加的倍数都是一样的。你涨35%，我也涨了35%，大家的相对比例还是没变。于是，在我们听来就还是同一首歌。

音律，研究的其实是各个音符的频率之间的比例。

我们在调音的时候，先要选好一个基准音，大家都同意这个音应该是每秒钟抖多少次。比如说标准 A4 就是每秒 440 次。

在这个基础上，我们需要定一下其它各个音的频率。这就有讲究了。这个解法不是唯一的，所以有了不同的音律。

判断音律好坏的标准有两条：好不好听，方不方便。

先说好不好听。

好听不好听，虽然有主观的因素，也有一定的客观性。

在很久很久以前，人们发现，如果两个音的频率比例可以表示成一个简单的分数（所谓简单，就是分子和分母都是很小的整数），这两个音在一起就会很好听，否则就不好听。

这么神奇？难道人的耳朵随时都在做算术？是不是音乐家的数学都很好？

并没有。

我们在老万谈音律第1讲中讲过，乐器在发一个音的时候，除了这个音的基本频率，还会发出频率为基音频率整数倍的泛音。如果两个音的基音频率是简单的整数比，他们各自的泛音就会有很多的重合，两个音就更融洽。

我们就会说：咦，这两个频率好，好评。

比如说，有两个音 X 和 Y 的频率是 2:3 的关系。那么 X 这个音的频率就包括了

2F（基音），4F（一阶泛音），6F（二阶泛音），8F（三阶泛音），10F（四阶泛音），12F（五阶泛音），...

而 Y 这个音的频率包括了

3F（基音），6F（一阶泛音），9F（二阶泛音），12F（三阶泛音），...

其中 6F、12F、...等泛音是二者共有的，有共鸣就会和谐。

同样，3:4 频率关系的两个音，也有泛音重合：

3F，6F，9F，12F，15F，18F，21F，24F，...

对

4F，8F，12F，16F，20F，24F，...

人类发现了这个规律，就主动把音符的频率调成简单的分数倍。这就叫纯律（洋人叫它 just intonation 或者 pure intonation）。这里的 just，和正义（justice）同源，意思是说这样调音才是正当合理的。

纯律其实不是一种音律，而是一大类音律。只要是按简单分数比例调音的，都可以叫纯律。

如果有人跟你卖弄说：这首曲子是用纯律调音的钢琴演奏的。你就可以刨根问底：到底是哪一种纯律？毕达哥拉斯还是托勒密？或者都不是？

如果此刻他面色潮红，呼吸急促，顾左右而言它，你就可以送他一副书法（请大声朗读）：

我识透纯律，卧梅又闻花

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历史上最早的纯律，中国叫三分损益法（又叫五度相生法），西方叫毕达哥斯拉毕达哥拉斯律。

这位毕大哥的名字是不是很眼熟？没错，正是中学几何课本里讲勾股定理（西方叫毕达哥拉斯定理）时提到的老毕。

还记得年少时的懵吗？

象幅永远拎不清的画

- 勾股定理的几何证明

人家老毕可是一专多能，除了数学，音乐也是杠杠的。

毕大哥的学派特别推崇有理数，也就是能表示成两个整数的比的分数。

他们觉得，把音符调成分数比例，简直是天经地义。

上期我们说过，除去相差八度的音外，频率比例为 2:3，也就是相差纯五度的两个音在一起最好听。

所以，找男/女朋友的时候先测一下两个人说话的频率。如果不能做到相差八度，就找个相差纯五度的恋人，以后吵架都好听。

老毕决定，既然 2:3 的频率最和谐，那我就从这个比例出发推算出所有音的音高！

老毕在艰辛探索调琴的奥义

具体原则如下：

频率比 2:1 的两个音，在音乐上过于接近，可以用同一个名字。

为了方便，规定一个音阶里的所有音都在一个八度的范围内。也就是说假定最低音的频率是 f 的话，所有音符的频率必须在 f 到 2f 之间。

任选一个基准音加入音阶。

从音阶中拿出一个音，按频率比 3:2 的关系造出一个新的音。如果这个音的频率超出了音阶的范围，就通过频率加倍（升高一个八度）或者减半（降低一个八度）的办法把它的频率调整到 f 和 2f 之间。然后我们把规范后的音加入到音阶里面。

重复上一步，直到造出音阶中的所有音符。

现在，让我们踩着毕大哥的脚印，给 1234567 七个音规定频率。

先任选一个频率 f 为 1（主音）。

然后，把 3/2 f 加入音阶。这个音跟主音在一起很好听。我们给它取个名字叫 5:

终于结束了五音不全的黑历史！

继续前进。

从 3 再往上频率翻 3/2，得到 243/128，就是 7。

这时候老毕发现再往上翻是 729/256，规范后就是 729/512 了。这么复杂的分数不好弄啊！

老毕和他的徒弟们想了个妙招：向上翻不动了，向下翻也是一样的。

他们把主音 1 拉出来，往下翻 3/2 倍，得到 2/3，再规范为 4/3，就得到了大调七声音阶的最后一个音 4：

作业：请验算表里的频率比的数值和顺序。

这种音律可以看成每次频率乘以或除以 3，再通过减半（损）加倍（益）的办法规范到一个八度的范围，所以又叫三分损益律。

又因为频率比 3/2 的两个音是纯五度的关系，这又叫五度相生律。

今天管弦乐团给弦乐调音用的就是五度相生法。

我们知道小提琴有四根弦，相邻两根之间是纯五度的关系。他们分别是 G3，D4，A4，和 E5。

在演出之前，首席小提琴会拉一个 A4 的音，所有的小提琴手把自己的 A 弦调成和这个首席的 A4 一样。然后他们再各自调其余三根弦：

把 D 弦和 A 弦一起拉，两个声音在一起特别好听的时候，D 就调准了。

再把 G 弦和 D 弦一起拉，调准 G。

最后把 A 弦和 E 弦一起拉，把 E 也调准。

毕氏音律的最大好处就是调音容易：定好基准音之后每次两个音五度相生就好了。

那么这个毕氏音律好不好听呢？

从老毕在艰辛探索图中的苦逼表情，我们就可以看出端倪：不那么好听。

首先，我们说过频率比越简单越好听。毕氏音阶中出现了分母为 64 和 128 这样的大数，无论如何不能说很简单。

其次，一首大调曲子里通常会用到三个最重要的大三和弦：主和弦 135，下属和弦 461，还有属和弦 572。

所谓三和弦，就是三个音放在一起。大三和弦是三和弦的一种，它里面的三个音从低到高分别叫根音、三音和五音。

我们来对照上表看毕氏音律里几个大三和弦的频率比。

主和弦 135，频率比是 1 : 81/64 : 3/2。

虽然五音和根音之间是非常和谐的 3/2 关系，三音和根音的比例却是个别扭的 81/64，不够好听。

下属和弦 461，频率比 4/3 : 27/16 : 2，化简后得到同样的 1: 81/64: 3/2，也是一样的问题。

最后，属和弦 572 的频率比 3/2 : 243/128 : 9/4 也可以化简成 1 : 81/64 : 3/2。

三个最重要的和弦都不好听，难怪毕氏音律很快就被鄙视了。

究其原因，是这种音律要求两个音之间的频率比分子分母里面只能含有2和3的因子。因为它们每加入一个新的音，都和某个旧音是 3:2 的关系，然后每升降一个八度频率再乘以或除以 2。

这样万变不离其宗。不管你怎么变，分子分母里面只能出现 2 或者 3 的因子，连 4:5 这样的简单比例都无法表示，只能近似。

这有点太教条了，不可能好听。

长江后浪推前浪，后人奋发图强，改良了五度相生律。怎么做到的呢？我们下次再聊。

话题：