阅读：0
听报道
今天小女儿和我有这样一段对话：
女儿：爸爸，我要你和妈妈生偶数个孩子！
我：这个......你已经有哥哥和姐姐了，要是我们再生个妹妹，哥哥一个人会感到很孤单的。
女儿：那你们就生六个！
我：？！¥％&＊
如果我是一名普通青年或者文学青年，可能在朋友圈发一番童言多可爱、时间都去哪儿了、人到中年万事难、理想的家庭结构是N男娃N女娃之类的感慨就算了。但是，谁叫咱是工程师呢，较真模式马上自动打开！几秒钟后我的思路就跳转到了这么一道数学题：
一对夫妇已经有了两个女儿一个儿子，如果想要达到儿女平衡，那么平均来说还得生几个孩子？
既然是数学题，不是生物实验，我们就要做一些理想的假设：
- 每次生孩子都是独立的随机事件，生男和生女的概率都是各50%，和以前的历史没有关系。
- 每次只生一个。也就是说，不考虑双胞胎、三胞胎、......N胞胎的情况。
- 每次生完孩子，如果男孩总数等于女孩总数，就算大功告成，算法返回。否则继续。
- 所谓“平均来说还要生几个孩子”，准确地说是需要再生的孩子数目的数学期望值。
好了，你是不是已经跃跃欲试了？（喂，不是说生孩子，是做这道数学题！）
如果我们假设在当前女孩比男孩多k个的情况下（k >= 0），平均来说需要再生W[k]个娃才能达到男女平衡，那么这道题就是要求W[1]是多少。我们先用最简单的情况练练手：如果女孩男孩已经一样多了（k = 0），那么好，一个也不用再生了。也就是说
W[0] = 0
如果女孩比男孩多一个（k = 1）呢？我们知道，下一个生男生女的概率是一半一半。如果生的是个男孩，OK！恭喜你平衡了！如果生的是个女孩，那女孩数就比男孩多2了，所以在这刚生的一个女孩之外，平均还得再生W[2]个孩子才行。两种情况合起来看，平均得再生 (1 + 1 + W[2])/2 = 1 + W[2]/2 个孩子。也就是说
W[1] = 1 + W[2]/2 （公式1）
嗯？我们想知道的是W[1]，怎么W[2]跑出来了，这不是越整越复杂了吗？
不要急，科学不是一蹴而就的，娃要一个一个地生，公式也要一步一步地推不是。一时算不出W[1]没关系，我们来把W[k]和它的邻居的关系搞清楚了先：假定k > 0，如果下一个生的是男，那么男女差距缩小到了k - 1，平均来说再生W[k-1]个就好；如果下一个生的是女，男女差距扩大到了k + 1，那么还得再生W[k + 1]个。没错吧？
这个关系很重要，请务必保证你理解了。如果还没有，回去重读初中。（啊？！你也太狠了吧？）哦，没功夫啊？那就回去把上一段看三遍！那就回去把上一段看三遍！那就回去把上一段看三遍！
现在我们来把这段话总结成公式：
W[k] = (1 + W[k-1] + 1 + W[k+1])/2 (对所有k > 0)
然后化简成：
W[k] = 1 + (W[k-1] + W[k+1])/2 (对所有k > 0) （公式2）
把这个公式带入公式1，我们得到：
W[1]
= 1 + W[2]/2
= 1 + (1 + (W[1] + W[3])/2)/2
= 3/2 + (W[1] + W[3])/4
也就是说
W[1] = 2 + W[3]/3 （公式3）
元芳，你怎么看？包大人，把公式3和公式1放在一起看！
咦，好像是有规律耶！貌似
W[1] = k - 1 + W[k]/k (对所有 k >= 1) （公式4）
或者换一个角度：
W[k] = kW[1] + k - k^2 (对所有k >= 1) （公式4’）
真的是这样吗？用数学归纳法试试看这个“哥得抱弟”猜想成不成立：
- 当k = 1，W[1] = 1 - 1 + W[1]/1，公式成立。
- 当k = 2，W[1] = 1 + W[2]/2，公式也成立。看来有戏！
- 假设k <= n (n >= 2)的时候公式都成立。那么：
W[1]
= n - 1 + W[n]/n （归纳假设）
= n - 1 + (1 + (W[n-1] + W[n+1])/2)/n （套用公式2）
= n - 1 + 1/n + W[n-1]/2n + W[n+1]/2n
= n - 1 + 1/n + ((n - 1)W[1] + n - 1 - (n - 1)^2)/2n + W[n+1]/2n （套用公式4’）
现在我们得到了W[1]和W[n+1]的关系，把上式化简，可以得到
W[1] = n + W[n+1]/(n + 1)
也就是说，公式4对k = n + 1也是成立的！欧耶，数学归纳法告诉我们，公式4对一切自然数k都成立。
这说明一个什么问题？这说明一个非常严重的问题：因为我们知道W[k]总是>= 0的，W[1] = k - 1 + W[k]/k （对所有k >- 1）意味着W[1]的值根本就是没边的，要多大有多大。换句话说：W[1]根本就是无穷大！
无！穷！大！
在生娃的问题上，如果抱着“生着看，啥时扯平啥时停”的态度，你死定了！
那些在旁边叫着“生吧！生吧！”的看客，你们真是太坑爹鸟！
幸好，我们有数学归纳法。
话题：
0
推荐
财新博客版权声明：财新博客所发布文章及图片之版权属博主本人及/或相关权利人所有，未经博主及/或相关权利人单独授权，任何网站、平面媒体不得予以转载。财新网对相关媒体的网站信息内容转载授权并不包括财新博客的文章及图片。博客文章均为作者个人观点，不代表财新网的立场和观点。
京公网安备 11010502034662号 